Le paradoxe de Bertrand

Ce paradoxe est un exemple classique permettant de mesurer la limite des définitions de probabilités.

Considérons un triangle équilatéral et son cercle circonscrit. On tire une corde au hasard. Quelle est la probabilité que sa longueur soit supérieure à celle du côté du triangle ?

On doit à Renyi les remarques suivantes :

Première solution. Comme la longueur de la corde est déterminée par la position de son milieu, le choix de la corde peut consister à marquer un point au hasard à l’intérieur du cercle. La probabilité pour que la corde soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit est alors égale à la probabilité pour que le milieu de la corde soit intérieur au cercle inscrit dans ce triangle qui est de rayon moitié.

Si on admet que la répartition de ce point est uniforme dans le cercle, on trouve pour la probabilité demandée :

$\frac{\pi (r/2)^2}{\pi r^2} = \frac{1}{4}$

Deuxième solution. La longueur de la corde est déterminée par la distance de son milieu au centre du cercle. Par raison de symétrie, nous pouvons considérer que le milieu de la corde est pris sur un rayon donné du cercle et supposer que la répartition de ce point sur le rayon est uniforme. La corde sera plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit si son milieu est à une distance du centre inférieure à r/2; la probabilité recherchée est alors 1/2.

Troisième solution. Par raison de symétrie, nous pouvons supposer qu’on a fixé une des extrémités de la corde en P°. L’autre sera choisie au hasard sur la circonférence. Si on admet que la probabilité que l’autre extrémité P tombe sur un arc donné de la circonférence est proportionnelle à la longueur de cet arc, la corde P°P est plus grande que le côté du triangle équilatéral inscrit quand P se trouve sur l’arc P1P2 (tel que $\widehat{P_1P_0P_2} = \frac{\pi}{3}$) dont la longueur est le 1/3 de celle de la circonférence; la probabilité est donc de 1/3.

Il est clair que les trois hypothèses de répartition sont également réalisable. Il n’y a pas cependant de réel paradoxe car il s’agit simplement d’un choix de conditions expérimentales de tirage des cordes qui conduisent à des évènements différents.

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